n Î Z+ olmak üzere xn = a eşitliği sağlayan x değerine a’nın n’inci kuvvetten kökü denir ve x = Öa şeklinde gösterilir, n’inci kuvvetten kök a diye okunur.
Örnekler:
·n = 2 için Öa : Karekök a,
· n = 3 için Öa : Küpkök a,
· n = 4 için Öa : Dördüncü kuvvetten kök a diye okunur
Not:Hiçbir reel sayının çift kuvveti negatif olamayacağından, negatif bir sayının çift kuvvetten kökü reel sayı değildir.
N Î Z+ olmak üzere Öa için a³0 olmalıdır.
Örnekler
· x4 = -16 ise x Ï R dir. Çünkü hiçbir x reel sayısının dördüncü kuvvetten kökü –16 olamaz.
Ö-16 Ï R, Ö-7 Ï R fakat
x3 = -8 ise x = Ö-8 Î R dir.
Soru-1
A = (Öx + Öx-3 )/(1 + Ö5-x ) ise A nın reel sayı olması için x’in alacağı tam sayı değerler kaç tanedir?
Çözüm
Öx-3 ve Ö5-x köklerinin kuvvetleri çift sayı olduğundan,
x-3 ³ 0 ve Ö5-x ³ 0
Þ x³3 ve 5³x
Þ 3 £ x £ 5 tir. Buna göre x in alabileceği tamsayı değerleri 3,4 ve 5 olup üç tanedir.
Köklü İfadenin Üslü Şekilde Yazılması
Öa = **/n dir.
Örnek:
·Ö8 = Ö23 = 23/4, Ö-2 = (-2)1/3 tür.
Soru-2
Ö2x = Ö(0,5)2x-1 ise x kaçtır?
Çözüm
Ö2x = Ö(0,5)2x-1 Þ 2x/3 = (1/2)(2x-1)/(2)
Þ 2x/3 = (2-1)(2x-1)/(2)
Þ 2x/3 = 2(-2x+1)/(2)
Þ x/3 = (1 – 2x)/(2)
Þ x = 8/3 dir.
Köklü İfadenin Üssünün Alınması
Tanımlı olduğu durumlarda,
(Öa )m = Ö**
Örnekler:
· (Ö-2 )4 = Ö(-2)4 = Ö16
· (Ö2 )3 = Ö23 = Ö8 dir
Kök İçindeki Bir İfadenin Kök Dışına Çıkarılması
Kök içerisinde, üssü kökün kuvvetine eşit olan çarpanlar kök dışına çıkarılabilir.
n Î Z+ olmak üzere,
a , n tek sayı
Öan =
½a½ , n çift sayı
Örnekler:
·Ö125 = Ö53 = 5,
·Ö-8 = Ö(-2)3 = -2
·Ö1/32 = Ö(1/2)5 = ½
·Ö16 = Ö24 = ½2½ = 2
·Ö(Ö3 – 2)2 = ½Ö3 - 2½ olur.
Burada Ö3 - 2 < 0 olduğundan,
½Ö3 - 2½ = -(Ö3 – 2) = 2 - Ö3
·Ö26 = Ö(22)3 = 4
·Ö27/32 = Ö(3.32)/(2.42) = 3/4Ö3/2
Soru-3
Ö243 / Ö0,0048 işleminin sonucu kaçtır?
Çözüm
Ö243 / Ö0,0048 = Ö3.34 / Ö48.10-4 = 3.Ö3 / Ö3.24.(10-1)4
= 3.Ö3 / 2.10-1.Ö3
= 3.10 / 2 = 15 tir.
Kök Dışındaki Bir Çarpanın Kök İçine Yazılması
N inci kuvvetten bir kökün dışında, çarpım halinde bulunan bir ifade n inci kuvveti alınarak kök içine yazılabilir.
a/c . Öb = Ö(an.b)/(cn)
Not: n çift sayı ise a/c > 0 olmalıdır.
Örnekler:
·Ö2.Ö3/16 = Ö(3.25)/(16) = Ö6
· x.y.Ö1/x2y2 = Öx3y3/x2y2 = Öxy
· -1/3 . Ö27 = -Ö27/34 = -Ö1/3 tür.
Soru-4
A=(Ö5-3)Ö7+3Ö5 olduğuna göre, A kaçtır?
Çözüm
Ö5-3 < 0 olduğundan,
A = (Ö5 – 3)Ö7+3Ö5
= -(3-Ö5)Ö7+3Ö5
= -Ö(3-Ö5)2 .(7+3Ö5)
= -Ö(14-6Ö5)(7+3Ö5)
= -Ö2(7-3Ö5).(7+3Ö5)
= -Ö2[72 – (3Ö5)2]
= -Ö2.4 = -2Ö2 dir.
Bir Kökün Derecesini Genişletme Veya Sadeleştirme
Bir köklü ifadede, kök kuvveti ve kökün içindeki ifadenin üssü, uygun bir sayı ile çarpılabilir veya bölünebilir.
k Î Z+ olmak üzere
Öan = Öan.k = Öan/k
Örnekler:
·Ö32 = Ö25 = Ö2
·Ö3 = Ö32 = Ö9
·Ö-2 = -Ö2 = -Ö24 = -Ö16
·Ö(-2)6 = Ö26 = Ö26 = Ö2 dir.
Soru-5
x = Ö2 , y = Ö3 , ve z = Ö5
sayılarının büyükten küçüğe sıralanışı nasıldır?
Çözüm
X, y ve z sayılarının yaklaşık değerini bilmek zor olduğundan, kök kuvvetleri eşitlenerek kök içindeki sayılar karşılaştırılabilir. Buna göre:
x = Ö2 = Ö26 = Ö264
y = Ö3 = Ö34 = Ö81
z = Ö5 = Ö53 = Ö125 ve
125>81>64 olduğundan z>y>x tir.
Köklü İfadelerde Toplama-Çıkarma
Köklü ifadelerde toplama veya çıkarma yapılabilmesi için, kök kuvvetleri eşit ve köklerin içindeki ifadeler de birbirinin aynısı olmalıdır.
xÖa + y Öa – z Öa = (x+y-z)Öa gibi.
Örnekler:
·Ö3 + Ö2 (köklerin içindeki sayılar farklı)
·Ö7 + Ö7 (köklerin kuvvetleri farklı)
· 3Ö5 +Ö5 -2Ö5 = (3+2-1)Ö5 = 2Ö5 tir.
Soru-6
Ö48 + Ö12 - Ö27/4 işleminin sonucu nedir?
Çözüm
Ö48 + Ö12 - Ö27/4 = Ö3.42 + Ö3.22 - Ö(3.32)/(22)
= 4Ö3 + 2Ö3 – 3/2Ö3
= (4+2-3/2)Ö3 = 9/2Ö3 tür.
Soru-7
Ö8 + Ö-128 + Ö16 işleminin sonucu nedir?
Çözüm
Ö8 + Ö-128 + Ö16 = Ö23 + Ö2.(-4)3 + Ö24
= Ö2 - 4Ö2 + Ö2
= (1-4+1)Ö2
= -2Ö2
Köklü İfadelerde Çarpma-Bölme
Köklü ifadelerde çarpma veya bölme yapılabilmesi için, köklerin kuvvetleri eşit olmalıdır.
Tanımlı olduğu durumlarda:
Öa . Öb = Öa.b
Öa / Öb = Öa/b
Not: Köklerin kuvvetleri farklı ise, kök kuvvetleri eşitlenerek çarpma veya bölme yapılabilir.
Öa . Öb = Öam . Öbn = Öam.bn
Öa / Öb = Öam / Öbn = Öam/bn (b¹0) dir.
Örnek:
· (Ö2 . Ö3) / (Ö5 ) = Ö(2.3)/(5) = Ö6/5 tir.
Soru-7
Ö2 . Ö16 işleminin sonucu nedir?
Çözüm
Köklerin kuvvetleri 3.5=15’te eşitlenirse,
Ö2 . Ö16 = Ö2 . Ö24
= Ö25 . Ö24.3
= Ö25 . 212 = Ö217
= Ö215 . 22 = 2Ö4 tür.
Paydanın Rasyonel Yapılması (Paydanın Kökten kurtarılması)
1-) n > m, b ¹ 0 olmak üzere, a/Öbm şeklindeki ifadelerde pay ve payda Öbn-m ile çarpılarak payda kökten kurtarılır.
a / Öbm = (a / Öbm ) . (Öbn-m / Öbn-m) = (a . Öbn-m) / (b) dir.
Örnekler
· a/Öb = (a/Öb) . (Öb/Öb) = (aÖb)/(b)
· 1/Ö32 = (1/Ö25) . (Ö22/Ö22) = Ö4/2
· 1 / (Ö2.Ö3) = [1/(Ö2.Ö3)].[(Ö22.Ö3)/(Ö22.Ö3)] = (Ö4.Ö3)/(2.3) = (Ö4.Ö3)/(6)
2-)a/(Öb-Öc) şeklindeki ifadelerde pay ve payda Öb+Öc ile,
a/(Öb+Öc) şeklindeki ifadelerde ise pay ve payda Öb-Öc ile çarpılır.
(x-y)(x+y) = x2 – y2 olduğundan
(Öb - Öc)(Öb + Öc) = (Öb)2 – (Öc)2 = b – c dir.
Bu şekilde paydada iki kare farkı elde edilerek payda kökten kurtarılmış olur.
a/(Öb-Öc) = [a/(Öb-Öc)].[(Öb+Öc)/(Öb+Öc)] = [a(Öb+Öc)] / [b-c]
a/(Öb+Öc) = [a/(Öb+Öc)].[(Öb-Öc)/(Öb-Öc)] = [a(Öb-Öc)] / [b-c] dir.
Örnek:
· 1/(Ö5 – 2) = [1/(Ö5-2)].[(Ö5+2)/(Ö5+2)] = [Ö5 + 2] / [(Ö5)2 – 22] = Ö5 + 2
· 2/(Ö5 + Ö3) = [2/(Ö5+Ö3)].[(Ö5-Ö3)/(Ö5-Ö3)] = [2(Ö5-Ö3)] / [(Ö5)2-(Ö3)2] = Ö5-Ö3
Soru-8
3/Ö4-Ö7 ifadesinin eşiti nedir?
Çözüm
3/Ö4-Ö7 = (3/Ö4-Ö7).(Ö4+Ö7)/(Ö4+Ö7)
= (3Ö4+Ö7)/Ö42 – (Ö7)2 = (3Ö4+Ö7)/Ö9
= Ö4+Ö7 dir.
Konu: Kareköklü Ifadeler 
